Question

定義在（0，+∞）上的增函數f（x）滿足：對任意的x＞0，y＞0都有f（xy）=f（x）+f（y），
（1）求f（1） 的值；
（2）請舉出一個符合條件的函數f（x）；
（3）若f（2）=1，解不等式f（x²-5）-f（x）＜2．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1即可求出
（2）舉一底數大于1的對手函數即可．
（3）先由f（2）=1求出f（4）=2，f（x²-5）-f（x）＜2?f（x²-5）＜f（x）+f（4）=f（4x），
再由單調性轉化出等價不等式求解即可．

解答：解：（1）令x=y=1，
則f（1）=f（1）+f（1）⇒f（1）=0．
（2）y=log_ax（a＞1）
（3）f（2）=1
∴2=1+1=f（2）+f（2）=f（4）
∴原不等式等價于f（x²-5）＜f（x）+f（4）=f（4x），
因為f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數，所以

x2-5＜4x x2-5＞0 x＞0

⇒

-1＜x＜5 x＜- 5 或x＞ 5 x＞0

⇒

5

＜x＜5
所以原不等式解集是(

5

，5)

點評：本題考查抽象函數的解題方法：賦值法及函數單調性的應用：解不等式，難度不大．