Question

填空題
（1）已知

cos2x

sin(x+ π 4 )

=

4

3

，則sin2x的值為

1

9

．
（2）已知定義在區間[0，

3π

2

]上的函數y=f（x）的圖象關于直線x=

3π

4

對稱，當x≥

3π

4

時，f（x）=cosx，如果關于x的方程f（x）=a有四個不同的解，則實數a的取值范圍為

(-1，-

2

2

)

．

（3）設向量

a

，

b

，

c

滿足

a

+

b

+

c

=

0

，(

a

-

b

)⊥

c

，

a

⊥

b

，若|

a

|=1，則|

a

|2+|

b

|2+|

c

|2的值是

4

．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡已知條件可得cos（

π

4

+x）=

2

3

，由sin2x=-cos（

π

2

+2x），利用二倍角的余弦公式求出結果．
（2）作函數f（x）的圖象，分析函數的圖象得到函數的性質，分類討論后，結合方程在a取某一確定值時所求得的所有解的和記為S，即可得到答案．
（3）由條件求得 |

a

|=1，|

b

|=1，再由得

c

2=[-(

a

+

b

)]2=

b

2+

a

2+2

a

•

b

=2，即可求得值．

解答：解：（1）∵

cos2x

sin(x+ π 4 )

=

4

3

=

sin( π 2 +2x)

sin(x+ π 4 )

=

2sin( π 4 +x)•cos( π 4 +x)

sin(x+ π 4 )

=2cos（

π

4

+x），
∴cos（

π

4

+x）=

2

3

，∴sin2x=-cos（

π

2

+2x）=-[2cos2(

π

4

+x)-1]=-（-

1

9

 ）=

1

9

，
故答案為 

1

9

．
 （2）依題意作出函數y=f（x）在區間[0，

3π

2

]上的簡圖，當直線y=a與函數y=f（x）的圖象有交點時，則可得-1≤a≤0．
①當-

2

2

＜a≤0，f（x）=a有2個解，②當a=-

2

2

時，f（x）=a有3個解，
③當-1＜a＜-

2

2

時，f（x）=a有4個交點，④a=-1時，f（x）=a有2個交點，
故方程f（x）=a有四個不同的解，則實數a的取值范圍為(-1，-

2

2

)，
故答案為 (-1，-

2

2

)．

 （3）由題意可得(

a

-

b

)•

c

=(

a

-

b

)•(-

a

-

b

)=0，∴

b

2=

a

2，|

b

|=|

a

|．
再由 |

a

|=1，可得|

b

|=1．
再由

a

•

b

=0，

c

=-（

a

+

b

） 可得

c

2=[-(

a

+

b

)]2=

b

2+

a

2+2

a

•

b

=2．
∴|

a

|2+|

b

|2+|

c

|2=4，
故答案為4．

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，函數的圖象及性質，兩個向量的數量積的定義，數量積公式的應用，體現了轉化、數形結合、分類討論的數學思想，屬于中檔題．