Question

設f（x）是定義在（0，1）上的函數(shù)，且滿足：①對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②對任意x₁，x₂∈（0，1），恒有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2，則下面關于函數(shù)f（x）判斷正確的是（　�。�

• A．對任意x∈(0，

  1

  2

  )，都有f（x）＞f（1-x）
• B．對任意x∈(0，

  1

  2

  )，都有f（x）＜f（1-x）
• C．對任意x1，x2∈(

  1

  2

  ，1)，都有f（x₁）＜f（x₂）
• D．對任意x1，x2∈(

  1

  2

  ，1)，都有f（x₁）=f（x₂）

Answer 1

分析：由已知不等式將x₁、x₂互換位置，可得

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤2，再將其與已知式相加，得

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤4任意x₁，x₂∈（0，1）恒成立．再根據基本不等式，證出

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≥4恒成立，所以有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

=4，結合基本不等式取等號的條件，可得f（x₁）=f（x₂）對任意x₁、
x₂∈（0，1）恒成立．由以上結論，對照各個選項，則不難得到本題的答案．

解答：解：∵對任意x₁，x₂∈（0，1），恒有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2，…（1）
∴將x₁、x₂的位置互換，可得

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤2，…（2）
（1）（2）相加，得

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤4，…（3）
又∵對任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0
∴由基本不等式，得

f(x2)

f(x1)

+

f(x1)

f(x2)

≥2且

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≥2
兩式相加，得

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≥4…（4）
對照（3）（4），可得

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

=4任意x₁，x₂∈（0，1）恒成立
結合基本不等式的等號成立的條件，可得

f(x2)

f(x1)

=

f(x1)

f(x2)

=1，故f（x₁）=f（x₂）對任意x₁，x₂∈（0，1）恒成立．
由以上的結論，可得D選項正確，而C選項與D矛盾，故不正確
而A、B中的結論應該改成對任意x∈(0，

1

2

)，都有f（x）=f（1-x）
故答案為：D

點評：本題給出抽象函數(shù)和已知不等式，判斷幾個命題的真假性，著重考查了函數(shù)的自變量的對稱性、不等式的性質和基本不等式等知識，屬于基礎題．