Question

【題目】如圖在棱錐P﹣ABCD中，ABCD為矩形，PD⊥面ABCD，PB=2，PB與面PCD成45°角，PB與面ABD成30°角．
（1）在PB上是否存在一點E，使PC⊥面ADE，若存在確定E點位置，若不存在，請說明理由；
（2）當E為PB中點時，求二面角P﹣AE﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：法一：要證明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需 即可，

所以由 ，即存在點E為PC中點

法二：建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣XYZ，

由題意知PD=CD=1， ，設 ，∴ ，

由 ，得 ，

即存在點E為PC中點

（2）解：由（1）知D（0，0，0）， ， ，P（0，0，1） ， ， ，

設面ADE的法向量為 ，面PAE的法向量為

由的法向量為 得， 得

同理求得 所以

故所求二面角P﹣AE﹣D的余弦值為 ．

【解析】（1）法一：要證明PC⊥面ADE，只需證明AD⊥PC，通過證明 即可，然后推出存在點E為PC中點．法二：建立如圖所示的空間直角坐標系D﹣XYZ，設 ，通過 =0得到 ，即存在點E為PC中點． （2）由（1）知求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數量積．求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面垂直的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．