Question

在等差數列{a_n}和等比數列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差數列，a₂，b₂，a₃+2成等比數列，數列{b_n}的前n項和為S_n．
（Ⅰ）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）若S_n+a_n＞m對任意的正整數n恒成立，求常數m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）a_n=3n﹣2，b_n=2•3^n﹣1；（Ⅱ）{m|m<3}

解析試題分析：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q（q＞0）,由已知得,解得d=q=3,所以a_n=3n﹣2，b_n=2•3^n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知,從而,則3ⁿ+3n﹣3＞m對任意的正整數n恒成立,構造函數f（n）=3ⁿ+3n﹣3,則
f（n+1）﹣f（n）=2•3ⁿ﹣3＞0即f（n）單調遞增，所以m＜f（1）=3,答案為{m|m<3}.
試題解析：（Ⅰ）設等差數列{a_n}的公差為d，等比數列{b_n}的公比為q（q＞0）．
由題意，得，解得d=q=3．
∴a_n=3n﹣2，b_n=2•3^n﹣1；
（Ⅱ）∵S_n+a_n＞m對任意的正整數n恒成立，
∴3ⁿ+3n﹣3＞m對任意的正整數n恒成立，
令f（n）=3ⁿ+3n﹣3，則f（n+1）﹣f（n）=2•3ⁿ﹣3＞0，
∴f（n）單調遞增，
∴m＜f（1）=3．
∴常數m的取值范圍{m|m<3}
考點：1.等差數列和等比數列的通項公式;2.等比數列的求和公式;3.與正整數有關的不等式恒成立問題