Question

在等差數列中，，，記數列的前項和為．
（1）求數列的通項公式；
（2）是否存在正整數、，且，使得、、成等比數列？若存在，求出所有符合條件的、的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：(1)根據等差數列的首項和公差求通項公式；（2）觀測數列的特點形式，看使用什么方法求和.使用裂項法求和時，要注意正負項相消時消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點，實質上造成正負相消是此法的根源和目的；（3）與數列有關的探索問題：第一步：假設符合條件的結論存在；第二步：從假設出發，利用題中關系求解；第三步，確定符合要求的結論存在或不存在；第四步：給出明確結果；第五步：反思回顧，查看關鍵點.
試題解析：(1）設等差數列的公差為，
因為即解得 
所以．數列的通項為．     5分
（2）因為，
所以數列的前項和

．
假設存在正整數、，且，使得、、成等比數列，
則．即．
所以．因為，所以．即．
因為，所以．因為，所以．
此時．
所以存在滿足題意的正整數、，且只有一組解，即，．      13分
考點：（1）等差數列的通項公式；（2）裂項求和；（3）探索性問題.