Question

已知數列{a_n}各項均為正數，其前n項和為S_n，且滿足4S_n=(a_n+1)².[來
(1)求{a_n}的通項公式；(2)設b_n=，數列{b_n}的前n項和為T_n,求T_n的最小值.

Answer 1

（1）a_n=2n-1；（2）.

解析試題分析：(1)本小題可化歸為a_n+1=S_n+1-S_n，整理為4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n再因式分解為2(a_n+1+a_n)=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n)，即可得到a_n+1-a_n=2，根據等差數列的定義，可知{a_n}為等差數列，易得其通項公式；（2）本小題b_n通項公式先進行裂項，利用裂項相消法可求得T_n的值，可證明T_n+1>T_n，易知{T_n}為遞增數列，則最小值為T₁.
試題解析：(1)因為(a_n+1)²=4S_n,所以S_n=,S_n+1=.
所以S_n+1-S_n=a_n+1=即4a_n+1=a_n+1²-a_n²+2a_n+1-2a_n, ∴2(a_n+1+a_n)=(a_n+1+a_n)(a_n+1-a_n).
因為a_n+1+a_n≠0,所以a_n+1-a_n=2,即{a_n}為公差等于2的等差數列.由(a₁+1)²=4a₁,解得a₁=1,所以a_n=2n-1.
(2)由(1)知b_n==,∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=
∵T_n+1-T_n=
∴T_n+1>T_n，∴數列{T_n}為遞增數列，∴T_n的最小值為T₁=.
考點：與的關系：，等差數列的定義，裂項相消法，遞增數列的定義.