Question

已知多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2a，AB=a，F為CD的中點.

（1）求證：AF⊥平面CDE；

（2）求異面直線AC，BE所成角的余弦值；

（3）求面ACD和面BCE所成銳二面角的大小.

Answer 1

解：（1）∵DE⊥平面ACD，AF平面ACD，∴DE⊥AF. 又∵AC=AD，F為CD中點，

∴AF⊥CD，∴AF⊥平面CDE.

   （2）∵DE∥AB，

取DE中點M，連結AM、CM，則四邊形AMEB為平行四邊形.

AM∥BE，則∠CAM為AC與BE所成的角，

在△ACM中，AC=2，

∴異面直線AC、BE所成的角的余弦值為.

（3）延長DA，EB交于點G，連結CG，因為AB∥DE，AB=，所以A為GD的中點.

又因為F為CD中點，所以CG∥AF，

因為AF⊥平面CDE，所以CG⊥平面CDE，

故∠DCE為面ACD和面BCE所成二面角的平面角，易求∠DCE=45°.