Question

已知橢圓+=1(a>b>0)的離心率為，右焦點為F(1，0)，直線l經過點F，且與橢圓交于A、B兩點，O為坐標原點．

   （I）求橢圓的標準方程；

   （II）若P是橢圓上的一個動點，求|PO|²+|PF|²的最大值和最小值；

   （III）當直線l繞點F轉動時，試問：在x軸上是否存在定點S，使得?為常數?若存在，求出定點S的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意可知，c=1，又e==，解得a=

所以b²=a²-c²=1

所以橢圓的方程為+ y²=1.

   （II）設P(x₀,y₀),則，所以2=2 -.

所以|PO|²+|PF|²=++( x₀-1)²+=( x₀-1)²+2

因為x₀∈[-,],所以

當x₀= -時，|PO|²+|PF|²取得最大值(--1)²+2=5+2;

當x₀= 1時，|PO|²+|PF|²取得最小值2.

   （III）若直線l不垂直于x軸，可設l的方程為y=k(x-1)．

由

得(1+2k²)x²-4k²x+2k²-2=0.

△=16k⁴-4(1+2k²)(2k²-2)=8k²+8>0.

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),則

x₁+ x₂=，x₁ x₂=.

設S(t，0)，則=( x₁-t,y₁)，=( x₂-t,y₂),

=(x₁-t)(x₂-t)+ y₁ y₂

= x₁ x₂- t(x₁+ x₂)+ t ²+k²(x₁-1)(x₂-1)

=(1+ k²) x₁ x₂-( t +k²)( x₁+ x₂)+ t ²+k²

=(1+ k²)-( t +k²)+ t ²+k²

=

=

要使得=λ(λ為常數)，只要=λ，

即()k² + (t²-2 -λ)=0.  (*)

對于任意實數k，要使(*)式恒成立，只要

解得

若直線l垂直于x軸，其方程為x=1．

此時，直線l與橢圓兩交點為A(1，)、B(1,一),

取點S(，0)，有=(-,),=(-,-),

=(-)×(-)+×(-)

==λ .

綜上所述，過定點F(1，0)的動直線l與橢圓相交于A、B兩點，當直線l繞點F轉動時，存在定點S(，0)，使得=.