Question

已知橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為，直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點，點M在橢圓上， = +，求橢圓的方程.

Answer 1

+y²=1

解析:

由e=得a²=4b²,橢圓可化為:

x²+4y²=4b².

將y=x+1代入上式，消去y并整理得：

x²+2x+2-2b²=0.                                                                                         ①

∵直線y=x+1與橢圓交于A、B兩點，

∴Δ=4-4（2-2b²）＞0,∴b＞.

設(shè)A（x₁,y₁）,B(x₂,y₂),M(x,y),則由

= +,

得.

∵M(jìn)在橢圓上，∴（x₁+x₂)²+(y₁+y₂)²=4b²,

∴x₁x₂+4y₁y₂=0.

∴x₁x₂+·4=0，

即x₁x₂+(x₁+x₂)+2=0                                                      ②

又由①知x₁+x₂=-2,x₁·x₂=2-2b²,

代入②中得b²=1,滿足b＞.

∴橢圓方程為+y²=1.