【題目】設函數
.
（1）當
時，求函數
的單調減區間；
（2）若
有三個不同的零點，求
的取值范圍；
（3）設
，若
無極大值點，有唯一的一個極小值點
，求證：
.
【答案】（1）函數
在
上單調遞減，在
上單調遞增； （2）
或
；
（3）見解析
【解析】
（1）求函數導數，由
得增區間，由
得減區間；
（2）設
，則
，則
或
或
，討論
和0的大小關系，由的單調性及最值，分析
時是否有三個根即可；
（3）由題意可知，令
，即
在
內有唯一的一個正根，由求根公式得方程兩個根
，因為只能有一個正跟，從而得
，所以
，由
，得
，代入
，求導利用單調性即可證得.
（1）當
時，
，
.
當時，
；當時，
所以函數在上單調遞減，在上單調遞增.
（2）設，則，則或或，
.
當
時，恒成立，∴在上為增函數，且
時，
；
時，
，則的零點有3個，符合題意.
當時，
，此時只有一個零點，不合題意.
當時，若，則
；若時，
，
函數在
上單調遞減，在
上單調遞增.
又且時，；時，，
所以
或
或
要有三個零點，則
即
，所以
綜上所述，或.
（3）
.
因為
在無極大值點，有唯一的一個極小值點
即，即在內有唯一的一個正根.
所以
，即
又
，
，
又因為只有唯一的一個正根，所以
即.
當時，在
上單調遞減，在
上單調遞增.
此時無極大值，有唯一一個極小值點
，
所以，所以
所以
所以
.
所以在
上單調遞減，所以
綜上，
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
，其圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為
．
（1）求函數
的解析式及對稱中心；
（2）將函數的圖象向左平移
個單位長度，再向上平移
個單位長度得到函數
的圖象，若關于x的方程
在區間
上有兩個不相等的實根，求實數m的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知AB為橢圓E：
（a＞b＞0）的長軸，過坐標原點O且傾斜角為135°的直線交橢圓E于C，D兩點，且D在x軸上的射影D'恰為橢圓E的長半軸OB的中點．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）若AB＝8，不過第四象限的直線l與橢圓E和以CD為直徑的圓均相切，求直線l的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
為邊長為2的菱形，
，
，面
面，點
為棱
的中點.
（1）在棱
上是否存在一點
，使得
面
，并說明理由；
（2）當二面角
的余弦值為
時，求直線
與平面所成的角.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某市規定，高中學生在校期間須參加不少于80小時的社區服務才合格．某校隨機抽取20位學生參加社區服務的數據，按時間段
（單位：小時）進行統計，其頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求抽取的20人中，參加社區服務時間不少于90小時的學生人數；
（2）從參加社區服務時間不少于90小時的學生中任意選取2人，求所選學生的參加社區服務時間在同一時間段內的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖
，在等腰梯形ABCD中，
，E，F分別為AB，CD的中點，
，M為DF中點.現將四邊形BEFC沿EF折起，使平面
平面AEFD，得到如圖
所示的多面體.在圖中，
（1）證明：
；
（2）求二面角E-BC-M的余弦值.
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