Question

已知函數f(x)＝－x³＋x²－2x(a∈R)．
(1)當a＝3時，求函數f(x)的單調區間；
(2)若對于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a－1)成立，求實數a的取值范圍；
(3)若過點可作函數y＝f(x)圖象的三條不同切線，求實數a的取值范圍．

Answer 1

(1) 增區間為(1,2)，減區間為(－∞，1)和(2，＋∞)． (2) (－1,8)； (3) (2，＋∞)．

解析試題分析：(1)當a＝3時，f(x)＝－x³＋x²－2x，得f′(x)＝－x²＋3x－2.
因為f′(x)＝－x²＋3x－2＝－(x－1)(x－2)，
所以當1<x<2時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；
當x<1或x>2時，f′(x)<0，函數f(x)單調遞減．
故函數f(x)的單調遞增區間為(1,2)，單調遞減區間為(－∞，1)和(2，＋∞)．
(2)方法一：由f(x)＝－x³＋x²－2x，得f′(x)＝－x²＋ax－2.
因為對于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a－1)成立，
即對于任意x∈[1，＋∞)都有－x²＋ax－2<2(a－1)成立，即對于任意x∈[1，＋∞)都有x²－ax＋2a>0成立．
令h(x)＝x²－ax＋2a，
要使h(x)對任意x∈[1，＋∞)都有h(x)>0成立，必須滿足Δ<0，或
即a²－8a<0或所以實數a的取值范圍為(－1,8)．
方法二：由f(x)＝－x³＋x²－2x，得f′(x)＝－x²＋ax－2.
因為對于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)<2(a－1)成立，即對于任意x∈[1，＋∞)都有f′(x)_max<2(a－1)．
因為f′(x)＝－²＋－2，其圖象開口向下，對稱軸為x＝.
①當<1，即a<2時，f′(x)在[1，＋∞)上單調遞減，所以f′(x)_max＝f′(1)＝a－3.
由a－3<2(a－1)，得a>－1，此時－1<a<2；
②當≥1，即a≥2時，f′(x)在上單調遞增，在上單調遞減，所以f′(x)_max＝f′＝－2.由－2<2(a－1)，得0<a<8，此時2≤a<8.
綜上①②可得，實數a的取值范圍為(－1,8)．
(3)設點P是函數y＝f(x)圖象上的切點，則過點P的切線的斜率為k＝f′(t)＝－t²＋at－2，所以過點P的切線方程為y＋t³－t²＋2t＝(－t²＋at－2)(x－t)．
因為點在切線上，所以－＋t³－t²＋2t＝(－t²＋at－2)(0－t)，即t³－at²＋＝0.
若過點可作函數y＝f(x)圖象的三條不同切線，則方程t³－at²＋＝0有三個不同的實數解．
令g(t)＝t³－at²＋，則函數y＝g(t)與t軸有三個不同的交點．
令g′(t)＝2t²－at＝0，解得t＝0或t＝
因為g(0)＝，g＝－a³＋，所以g＝－a³＋<0，即a>2.
所以實數a的取值范圍為(2，＋∞)．
考點：導數的幾何意義；利用導數研究函數的單調性；二次函數的性質；
點評：我們要靈活應用導數的幾何意義求曲線的切線方程，尤其要注意切點這個特殊點，充分利用切點即在曲線方程上，又在切線方程上，切點處的導數等于切線的斜率這些條件列出方程組求解。做本題時我們要注意在某點處的切線方程和過某點的切線方程的區別。