Question

：已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，拋物線C：以F₂為焦點(diǎn)且與橢圓相交于點(diǎn)M，直線F₁M與拋物線C相切。
（Ⅰ）求拋物線C的方程和點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）過F₂作拋物線C的兩條互相垂直的弦AB、DE，設(shè)弦AB、DE的中點(diǎn)分別為F、N，求證直線FN恒過定點(diǎn)；

Answer 1

：略

：解：（Ⅰ）由橢圓方程得半焦距        …………1分
所以橢圓焦點(diǎn)為                    …………2分
又拋物線C的焦點(diǎn)為  ……3分
設(shè)則，直線的方程為……4分
代入拋物線C得
與拋物線C相切，
，      …………7分
（Ⅱ）設(shè)的方程為　代入，得，…8分
設(shè)，則 ………9分
，　   ………10分
所以，將換成      …………12分
由兩點(diǎn)式得的方程為               …………13分
當(dāng)，所以直線恒過定點(diǎn)         …………14分