Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點為，，長軸端點為，，為橢圓中心，，斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，這兩點在軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若拋物線上存在兩個點，，橢圓上存在兩個點，，滿足，，三點共線，，，三點共線，且，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由，可得，由于斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點，這兩點在軸上的射影恰好是橢圓的兩個焦點，可知直線過原點，表示出直線方程，可得直線與橢圓的一個交點坐標，代入橢圓中，可得到，的值，由此得到橢圓的方程。

（2）分類討論直線斜率存在與不存在的情況，當斜率不存在時，根據題意可得，，即可得到四邊形的面積，當斜率存在時，設出直線的點斜式方程以及直線的方程，將直線的方程與拋物線聯立方程，得到關于的一元二次方程，由弦長公式表示出，再聯立直線與橢圓的方程，得出的長，最后表示出四邊形面積關于斜率的表達式，利用基本不等式即可求出四邊形面積最小值。

解：（1）設橢圓方程為，

利用數量積運算可得，可得，

直線的方程為，當時，，

代入橢圓方程可得，

聯立解得，，橢圓方程.

（2）①當直線的斜率不存在時，直線的斜率為0，得到，，；

②當直線的斜率存在時，設直線方程為，

與拋物線聯立得。

令，，則，，

，

因為，所以直線的方程為，

將直線與橢圓聯立，得，

令，，則，，

所以，

所以四邊形面積，

令，

則，

所以，其最小值為.