Question

【題目】以下結論正確的個數是（ ）

①若數列中的最大項是第項，則.

②在中，若，則為等腰直角三角形.

③設、分別為等差數列與的前項和，若，則.

④的內角、、的對邊分別為、、，若、、成等比數列，且，則.

⑤在中，、、分別是、、所對邊，，則的取值范圍為.

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】D

【解析】

對于①,由數列為正項數列可由與,求得的取值范圍,進而判斷出數列的單調性,比較端點處的項即可求得最大項; 對于②將正切化為弦,結合正弦函數的和角公式化簡后即可判斷三角形形狀;對于③根據等差數列性質及等差數列前n項和公式,化簡變形即可得解;對于④由等比中項的性質,結合余弦定理化簡后即可得解;對于⑤由正弦定理,將邊化為角,再根據正弦函數的圖像與性質即可化簡求得值域.

對于①,數列為正項數列,則,.

所以,

若,即,解得,即時數列為遞增數列.

若,即,解得,即時為遞減數列.

且因為,所以為最大項,即,所以①正確.

對于②,在中,若.化簡可得,即,所以.兩邊同時乘以2,化簡可得,則或.即或,所以為等腰三角形或直角三角形,故②錯誤;

對于③,數列與為等差數列,、分別為等差數列與的前項和.根據等差數列性質及前n項和公式可知而,所以,故③正確;

對于④,、、成等比數列,所以,且則,而則由余弦定理可得.所以④正確;

對于⑤,由正弦定理可得,,所以.由可得,則,

所以

,

因為,

所以,

則,

所以⑤正確,

綜上可知,正確的有①③④⑤

故選:D