Question

【題目】如圖，四棱錐 ,底面 為菱形， 平面 ， ， 為 的中點， .

（I）求證：直線 平面 ；
（II）求直線 與平面 所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明： ，

又
又 平面 ,
直線 平面 .
（II）（方法一）連接 過 點作 于 點.

,
平面 ， .
又 ， 平面 .
所以 為直線 與平面 所成的角.
在 中， ，
直線 與平面 所成角的正弦值為
（方法二）如圖建立所示的空間直角坐標系 .
.

設平面 的法向量 ，

.所以直線 與平面 所成角的正弦值為
【解析】（I）推導出AE⊥CD，AE⊥AB，從而PA⊥AE，由此能證明直線AE⊥平面PAB．
（II）（方法一）連接PE，過A點作AH⊥PE于H點，推導出∠AEP為直線AE與平面PCD所成的角，推導出直線AE與平面PCD所成角的正弦值．
（方法二）建立所示的空間直角坐標系A-xyz，由此利用向量法能求出直線AE與平面PCD所成角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關系的相關知識點，需要掌握直線在平面內—有無數個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點才能正確解答此題．