Question

【題目】如圖，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，且AD=2BC，過A1、C、D三點的平面記為α，BB1與α的交點為Q．

（1）證明：Q為BB1的中點；
（2）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面積為6，∠ADC=60°，求平面α與底面ABCD所成銳二面角的大小．

Answer 1

【答案】
（1）證明：Ⅰ∵BQ∥AA1，BC∥AD，

BC∩BQ=B，AD∩AA1=A，

∴平面QBC∥平面A1AD，

∴平面A1CD與這兩個平面的交線相互平行，

即QC∥A1D．

∴△QBC與△A1AD的對應邊相互平行，

∴△QBC∽△A1AD，

∴ ，

∴Q為BB1的中點．

（2）解法一：如圖1所示，在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A1E．

又DE⊥AA1，且AA1∩AE=A，

所以DE⊥平面AEA1，所以DE⊥A1E．

所以∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角．

因為BC∥AD，AD=2BC，所以S△ADC=2S△BCA．

又因為梯形ABCD的面積為6，DC=2，

所以S△ADC=4，AE=4．

于是tan∠AEA1= =1，∠AEA1= ．

故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為 ．

解法二：如圖2所示，

以D為原點，DA，DD1分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標系．

設∠CDA=θ，BC=a，則AD=2a．

因為S四邊形ABCD= 2sin60°=6，

所以a= ．

從而可得C（1， ，0），A1（ ，0，4），

所以DC=（1， ，0）， =（ ，0，4）．

設平面A1DC的法向量 =（x，y，1），

由 ，

得 ，

所以 =（﹣ ， ，1）．

又因為平面ABCD的法向量 =（0，0，1），

所以cos＜ ， ＞= = ，

故平面α與底面ABCD所成二面角的大小為 ．

【解析】（1）由已知得平面QBC∥平面A1AD，從而QC∥A1D，由此能證明Q為BB1的中點．（2）法一：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足為E，連接A1E，∠AEA1為平面α與底面ABCD所成二面角的平面角，由此求出平面α與底面ABCD所成二面角的大小．（3）法二：以D為原點，DA，DD1分別為x軸和z軸正方向建立空間直角坐標系，由此利用向量法能求出平面α與底面ABCD所成二面角的大小．