Question

【題目】如圖，是邊長為的正方形，平面，，，與平面所成角為．

（Ⅰ）求證：平面．

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得平面，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）點是線段靠近點的三等分點．

【解析】試題分析：（1）由正方形性質得，由平面得，再根據線面垂直判定定理得平面（2）利用空間向量求二面角：先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解各面法向量，根據向量數量積求向量夾角，最后根據二面角與向量夾角關系求二面角（3）設點坐標，根據平面得，列方程解得點坐標，再確定位置

試題解析：（Ⅰ）證明：∵平面，平面，

∴，

又∵是正方形，

∴，

∵，

∴平面．

（Ⅱ）∵，，兩兩垂直，所以建立如圖空間直角坐標系，

∵與平面所成角為，即，

∴，

由，可知：，．

則，，，，，

∴，，

設平面的法向量為，則

，即，

令，則．

因為平面，所以為平面的法向量，

∴，

所以．

因為二面角為銳角，

故二面角的余弦值為．

（Ⅲ）依題意得，設，

則，

∵平面，

∴，即，解得：，

∴點的坐標為，

此時，

∴點是線段靠近點的三等分點．