Question

【題目】已知函數（其中）在點處的切線斜率為1.

（1）用表示；

（2）設，若對定義域內的恒成立，求實數的取值范圍；

（3）在（2）的前提下，如果，證明： .

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（III）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由題意即得；

（2）在定義域上恒成立，即，由恒成立，得，再證當時， 即可；

（3）由（2）知，且在單調遞減；在單調遞增，當時，不妨設，要證明，等價于，需要證明，令，可證得在上單調遞增， 即可證得.

試題解析：

（1），由題意

（2）在定義域上恒成立，即。

解法一： 恒成立，則。

當時， ，

令得（注意）

所以時， 單調遞減；當時， 單調遞增。

所以，符合題意。

綜上所述， 對定義域內的恒成立時，實數的取值范圍是。

解法二：（分離變量）恒成立，分離變量可得

對恒成立，

令，則。

這里先證明，記，則，

易得在上單調遞增，在上單調遞減， ，所以。

因此， ，且時，

所以，實數的取值范圍是。

（3）由（2）知，且在單調遞減；在單調遞增，

當時，不妨設，要證明，等價于，

只需要證明，這里，

令

，求導得

.

注意當時， ， ，（可由基本不等式推出）又

因此可得，當且僅當時等號成立。

所以在上單調遞增， ，也即，

因此，此時都在單調遞增區間上，

所以，得