Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 、是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，直線與直線斜率之積為2，已知平面內(nèi)存在兩定點(diǎn)、，使得為定值，則該定值為________

Answer 1

【答案】

【解析】設(shè)P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），

則由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），

即x=2x1-x2，y=2y1-y2，

∵點(diǎn)M，N在雙曲線上，所以， ，

故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），

設(shè)k0M，kON分別為直線OM，ON的斜率，根據(jù)題意可知k0MkON=2，

∴y1y2-2 x1x2=0，

∴2x2-y2=20，

所以P在雙曲線2x2-y2=20上；

設(shè)該雙曲線的左，右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，

由雙曲線的定義可推斷出為定值，該定值為