Question

（1）①計算

lim

n→∞

an+1+bn

an+bn+1

（a²+b²≠0且a≠-b）；
②計算

lim

x→-∞

x2-3

3 x3+1

．
（2）設函數f(x)=

x2 1+x2 -1 -1(x＞0) a(x=0) b x ( 1+x -1)(x＜0)

①若f（x）在x=0處的極限存在，求a，b的值；
②若f（x）在x=0處連續，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）①當a=b≠0，|a|＞|b|和|a|＜|b|時，根據題設條件和計算法則分別求解

lim

n→∞

an+1+bn

an+bn+1

的值．
②分子分線同時除以x，把

lim

x→-∞

x2-3

3 x3+1

轉化為

lim

x→-∞

1- 3 x2

3 -1+ 1 x3

=-1．
（2）①求出函數的左極限是

b

2

，右極限是1．由f（x）在x=0處的極限存在，知

b

2

=1，所以b=2．故a∈R，b=2．
②由f（x）在x=0處連續，知

b 2 =1 a=1

，故a=1，b=2．

解答：解：（1）①當a=b≠0時，

lim

n→∞

an+1+bn

an+bn+1

=1；
當|a|＞|b|時，

lim

n→∞

an+1+bn

an+bn+1

=

lim

n→∞

 

a+( b a )n

1+b( b a )n

=a；
當|a|＜|b|時，

lim

n→∞

an+1+bn

an+bn+1

=

lim

n→∞

a( a b )n+1

( a b )n+b

=

1

b

．
∴

lim

n→∞

an+1+bn

an+bn+1

=

1，a=b≠0 a|a|＞|b 1 b |a|＜|b

．
②

lim

x→-∞

x2-3

3 x3+1

=

lim

x→-∞

1- 3 x2

3 -1+ 1 x3

=-1．

（2）解：①

lim

x→0-

f(x)=

lim

x→0-

b

x

(

1+x

-1)
=

lim

x→0-

b( 1+x -1)( 1+x +1)

x( 1+x +1)

=

lim

x→0-

b

1+x +1

=

b

2

．

lim

x→0+

(

x2

1+x2 -1

-1)=

lim

x→0+

[

x2( 1+x2 +1)

( 1+x2 -1)( 1+x2 +1)

-1]
=

lim

0→0+

1+x2

=1．
∵f（x）在x=0處的極限存在，∴

b

2

=1，∴b=2．
故a∈R，b=2．
②∵f（x）在x=0處連續，∴

b 2 =1 a=1

，∴a=1，b=2．

點評：本題考查極限、迦續的概念和性質，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件．