Question

已知函數y=f（x）的圖象是自原點出發的一條折線，當n≤y≤n+1（n=0，1，2，…）時，該圖象是斜率為bⁿ的線段（其中正常數b≠1），設數列|x_n|由f（x_n）=n（n=1，2，…）定義．
（1）求x₁、x₂和x_n的表達式；
（2）計算

lim

n→∞

xn；
（3）求f（x）的表達式，并寫出其定義域；

Answer 1

分析：1）依題意f（0）=0，又由f（x₁）=1，當0≤y≤1時，x₁=1．又由f（x₂）=2，當1≤y≤2時，x2=1+

1

b

.由此入手結合題意可求出xn=

b-( 1 b )n-1

b-1

.
（2）當b＞1時，

lim

n→∞

xn=  

lim

n→∞

b-( 1 b )n-1

b-1

=

b

b-1

；當0＜b＜1時，n→∞，x_n也趨向于無窮大．
（3）分類討論可知當b＞1時，y=f（x）的定義域為[0，

b

b-1

)；當0＜b＜1時，y=f（x）的定義域為[0，+∞）．

解答：（1）解：依題意f（0）=0，又由f（x₁）=1，當0≤y≤1時，
函數y=f（x）的圖象是斜率為b⁰=1的線段，
故由

f(x1)-f(0)

x1-0

=1
得x₁=1．
又由f（x₂）=2，當1≤y≤2時，函數y=f（x）的圖象是斜率為b的線段，
故由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=b，
即x2-x1=

1

b

得x2=1+

1

b

.
記x₀=0．由函數y=f（x）圖象中第n段線段的斜率為b^n-1，
故得

f(xn)-f(xn-1)

xn-xn-1

=bn-1.
又f（x_n）=n，f（x_n-1）=n-1，∴xn-xn-1=(

1

b

)n-1，n=1，2.
由此知數列{x_n-x_n-1}為等比數列，其首項為1，公比為

1

b

.
因b≠1，得xn=

n

k=1

(xk-xk-1)=1+

1

b

++

1

bn-1

=

b-( 1 b )n-1

b-1

，
即xn=

b-( 1 b )n-1

b-1

.
（2）解：由（1）知xn=

b-( 1 b )n-1

b-1

.
當b＞1時，

lim

n→∞

xn=  

lim

n→∞

b-( 1 b )n-1

b-1

=

b

b-1

；
當0＜b＜1時，n→∞，x_n也趨向于無窮大．
（3）解：由（1）知：
當0≤x≤1時，y=x．即當0≤x≤1時，f（x）=x；
當n≤y≤n+1時，即x_n≤x≤x_n-1時，
由（1）可知，f（x）=n+bⁿ（x-x_n）（n=1，2，）．
由（2）知：當b＞1時，
y=f（x）的定義域為[0，

b

b-1

)；
當0＜b＜1時，y=f（x）的定義域為[0，+∞）．

點評：本小題主要考查函數的基本概念、等比數列、數列極限的基礎知識，考查歸納、推理和綜合的能力．