Question

（1）計算

lim

n→∞

(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

4n2

)．
（2）若

lim

n→∞

(2n+

an2-2n+1

bn+2

)=1，求

a

b

的值．

Answer 1

分析：（1）(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

4n2

)=

1

2

•

2n+1

2n

=

2n+1

4n

，由此能求出其結果．
（2）2n+

an2-2n+1

bn+2

=

(2b+a)n2+2n+1

bn+2

，且

lim

n→∞

(2n+

an2-2n+1

bn+2

)=1，由此能求出

a

b

=-2．

解答：解：（1）(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

4n2

)=

1

2

•

2n+1

2n

=

2n+1

4n

，
所以

lim

n→∞

(1-

1

22

)(1-

1

32

)(1-

1

42

)…(1-

1

4n2

)=

lim

n→∞

2n+1

4n

=

1

2

．
（2）2n+

an2-2n+1

bn+2

=

(2b+a)n2+2n+1

bn+2

，
且

lim

n→∞

(2n+

an2-2n+1

bn+2

)=1，
所以

2b+a=0 2 b =1

，
即

a

b

=-2．

點評：本題考查極限的性質和運算，解題時要認真審題，仔細思考，注意合理地進行等價轉化．