Question

如圖，直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE＝EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．

(Ⅰ)求證AE⊥平面BCE；

(Ⅱ)求二面角B－AC－E的正切值．

Answer 1

答案：
解析：

證明：(1) 　　 　　 　　　6分 　　(2)(法一)連結AC、BD交于G，連結FG， 　　∵ABCD為正方形，∴BD⊥AC，∵BF⊥平面ACE，∴FG⊥AC， 　　∠FGB為二面角B－AC－E的平面角，由(1)可知，AE⊥平面BCE， 　　∴AE⊥EB，又AE＝EB，AB＝2，AE＝BE＝， 　　在直角三角形BCE中，BE＝，CE＝ 　　在正方形中，BG＝，在直角三角形BFG中， 　　∴二面角B－AC－E為　12分 　　(法二)向量法：取AB中點為O，連EO，∵AE＝EB，∴EO⊥AB， 　　∴EO⊥平面ABCD，以O為原點，OE，AB所在直線分別為x，y軸，建立空間直角坐標系．易知為面ABC的一個法向量，設為面ACE的法向量． 　　∵，，則， 　　， 　　， 　　∴二面角B－AC－E為．