Question

如圖，直四棱柱A₁B₁C₁D₁-ABCD的高為3，底面是邊長為4，且∠DAB=60°的菱形，O是AC與BD的交點，O₁是A₁C₁與B₁D₁的交點．
（I） 求二面角O₁-BC-D的大小；
（II） 求點A到平面O₁BC的距離．

Answer 1

分析：本題一個求二面角與點到面距離的題，
（I）求二面角的方法有二，一是用立體幾何法，作出它的平面角，求之，二是利用向量求二面角，需要建立空間坐標系，求出兩個平面的法向量，利用數量積公式求出二面角的余弦，再求角．
（II）求點到面的距離也有二種方法，一種是幾何法，作出點到面的垂線段，用解三角形的方法求之．
二是用向量法，找出平面上一點與此點相連的線段所對應的向量，求出其在平面法向量上的投影的絕對值即可得到點到面的距離．

解答：（本小題滿分12分）
解：方法一：（I）過點O作OF⊥BC交BC于F，連接O₁F．
∵OO₁⊥平面ABCD，
∴BC⊥O₁F．
∴∠O₁FO是二面角O₁-BC-D的平面角…（3分）
由已知得：OB=2，∠OBF=60°．
∴OF=OB×sin∠OBF=

3

．
在Rt△O₁OF中，tan∠O1FO=

OO1

OF

=

3

，
∴∠O₁FO=60°．
即二面角O₁-BC-D的大小等于60°．…（6分）
（II）設點A到平面O₁BC的距離等于h，
∵在Rt△O1OF中，O1F=2

3

，
∴S△O1BC=

1

2

•BC•O1F=4

3

．
又∵S△ABC=

1

2

•AC•OB=4

3

，
且VO1-ABC=VA-O1BC…（10分）∴h=OO₁=3
即點A到平面O₁BC的距離等于3．…（12分）
方法二：（I）由題意建立如圖所示的空間直角坐標系．
∵底面ABCD是邊長為4，∠DAB=60°的菱形，∴OA=2

3

，OB=2．
則A(2

3

，0，0)，B(0，2，0)，C(-2

3

，0，0)，O1(0，0，3)
…（2分）∴

O1B

=(0，2，-3)，

O1C

=(-2

3

，0，-3)．
設平面O₁BC的法向量為

n

=(x，y，z)，由

n1

⊥

O1B

，

n1

⊥

O1C

得：

2y-3z=0 -2 3 x-3z=0.

令z=2，則x=-

3

，y=3．∴

n1

=(-

3

，3，2)．
又平面ABCD的一個法向量為

n2

=(0，0，1)，…（4分）
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

2

4

=

1

2

．
由已知得二面角O₁-BC-D是銳角，故二面角O₁-BC-D的大小等于60°．…（6分）
（II）設點A到平面O₁BC的距離等于d，
由（I）知平面O₁BC的一個法向量為

n1

=(-

3

，3，2)．
又∵

O1A

=(2

3

，0，-3)，則d=

| O1A • n1 |

| n1 |

=

|(2 3 ，0，3)•(- 3 ，3，2)|

(- 3 )2+32+22

=3．
∴點A到平面O₁BC的距離等于3．…（12分）

點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，點到平面的距離，其中建立空間坐標系，然后將空間直線與平面、平面與平面位置關系轉化為向量之間的關系，是解答本題的關鍵．本題運算量較大，解題時要嚴謹，用向量解決立體幾何問題是近幾年高考的熱點，本題中的類型近幾年出現的頻率較高