Question

（2011•唐山一模）如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=1，AA_i=3，∠ACB=90°，D為CC_i上的點，二面角A-A₁B-D的余弦值為-

3

6

．
（I ）求證：CD=2；
（II）求點A到平面A₁BD的距離．

Answer 1

分析：先建立空間直角坐標系，求出相關向量，利用向量垂直時數量積等于0求得示向量，
（1）設D（0，0，a）．利用向量數量積求出二面角公式得到關于a的方程，再解方程即可求得CD的長．
（2）由（Ⅰ）得出，n=（1，-2，-1）為面A₁BD的法向量，又

AA1

=（0，0，3），結合點A到平面A₁BD的距離即可求解．

解答：解：（Ⅰ）分別以CA、CB、CC₁所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系C-xyz，
則A（1，0，0）、B（0，1，0）、A₁（1，0，3）．設D（0，0，a）．
m=（1，1，0）是面A₁AB的法向量，設n=（x，y，z）是平面A₁BD的法向量．

DA1

=（1，0，3-a），

DB

=（0，1，-a），
由

DA1

•n=0，

DB

•n=0，得x+（3-a）z=0，y-az=0，取x=3-a，得y=-a，z=-1，得n=（3-a，-a，-1）．（4分）
由題設，|cos＜m，n＞|=

|m•n|

|m||n|

=

|3-2a|

2 × (3-a)2+a2+1

=|-

3

6

|=

3

6

，解得a=2，或a=1，（6分）
所以DC=2或DC=1．但當DC=1時，顯然二面角A-A₁B-D為銳角，故舍去．
綜上，DC=2（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），n=（1，-2，-1）為面A₁BD的法向量，又

AA1

=（0，0，3），
所以點A到平面A₁BD的距離為d=

| AA1 •n|

|n|

=

6

2

．（12分）

點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系，二面角的大小，點到平面的距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力．