Question

【題目】已知函數f（x）=2 sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R） （Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及在區間[0， ]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x0）= ，x0∈[ ， ]，求cos2x0的值．

Answer 1

【答案】解：（1）由f（x）=2 sinxcosx+2cos2x﹣1，得 f（x）= （2sinxcosx）+（2cos2x﹣1）= sin2x+cos2x=2sin（2x+ ）
所以函數f（x）的最小正周期為π．
因為f（x）=2sin（2x+ ）在區間[0， ]上為增函數，在區間[ ， ]上為減函數，
又f（0）=1，f（ ）=2，f（ ）=﹣1，所以函數f（x）在區間[0， ]上的最大值為2，最小值為﹣1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x0）=2sin（2x0+ ）
又因為f（x0）= ，所以sin（2x0+ ）=
由x0∈[ ， ]，得2x0+ ∈[ ， ]
從而cos（2x0+ ）=﹣ =﹣ ．
所以
cos2x0=cos[（2x0+ ）﹣ ]=cos（2x0+ ）cos +sin（2x0+ ）sin =
【解析】先將原函數化簡為y=Asin（ωx+φ）+b的形式（1）根據周期等于2π除以ω可得答案，又根據函數圖像和性質可得在區間[0， ]上的最值．（2）將x0代入化簡后的函數解析式可得到sin（2x0+ ）= ，再根據x0的范圍可求出cos（2x0+ ）的值， 最后由cos2x0=cos（2x0+ ）可得答案．