Question

【題目】設 ，g（x）=ax+5﹣2a（a＞0）．
（1）求f（x）在x∈[0，1]上的值域；
（2）若對于任意x1∈[0，1]，總存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：法一：（導數法） 在x∈[0，1]上恒成立．

∴f（x）在[0，1]上增，

∴f（x）值域[0，1]．

法二： ，用復合函數求值域．

法三：

用雙勾函數求值域．

（2）解：f（x）值域[0，1]，g（x）=ax+5﹣2a（a＞0）在x∈[0，1]上的值域[5﹣2a，5﹣a]．

由條件，只須[0，1][5﹣2a，5﹣a]．

∴

【解析】（1）求f（x）的值域問題可用導數法；注意到分母為x2 ， 可分子分母同除以x2 ， 將分母變為關于 的二次函數解決； 還可以將分母換元，轉化為用雙鉤函數求最值．（2）對于任意x1∈[0，1]，f（x1）范圍由（1）可知，由題意即g（x）的值域包含f（x）的值域，轉化為集合的關系問題．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的值域的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的．