Question

已知數列{a_n}（n∈N^*）中，前n項和為S_n，且S_n=2n-a_n，n∈N^*．
（1）求{a_n}的前5項；
（2）猜想a_n，并用數學歸納法證明．

Answer 1

考點：數學歸納法

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）令n=1、2、3、4、5，再利用公式S_n=2n-a_n可以直接求出出數列{a_n} 的前5項．
（2）猜想  an=

2n-1

2n-1

；再根據數學歸納法的證題步驟進行證明．

解答： 解：（1）S_n=2n-a_n，n∈N^*．
計算得：a₁=1，a₂=

3

2

，a₃=

7

4

，a₄=

15

8

，a₅=

31

16

，
{a_n}的前5項1，

3

2

，

7

4

，

15

8

，

31

16

；
（2）猜想  a_n=

2n-1

2n-1

；
下面用數學歸納法證明
①n=1時，成立；
②假設當n=k時成立，即a_k=

2k-1

2k-1

則當n=k+1時，由S_k+1=2（k+1）-a_k+1，得S_k+1-a_k+1=2（k+1）-2a_k+1，
∴S_k=2（k+1）-2a_k+1，
∴2k-a_k=2（k+1）-2a_k+1，
∴a_k+1=

2k+1-1

2(k+1)-1

．
這就是說，當n=k+1時，等式也成立．
由①②可知a_n=

2n-1

2n-1

 對n∈N^•均成立．

點評：本題主要考查數列求和和數列遞推式的知識點，求數列遞推式可以用數學歸納法也可以直接利用a_n=S_n-S_n-1可求出a_n的通項公式