Question

△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，E為AC邊上的中點且2bcosB=ccosA+acosC．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面積S≥

3 3

2

，求BE的最小值．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：綜合題,解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化邊為角，可求導cosB，由此可得B；
（Ⅱ）由面積公式可得ac≥6，在△BAE中，由余弦定理得：BE2=c2+(

b

2

)2-2c(

b

2

)cosA，又cosA=

b2+c2-a2

2bc

，a²+c²-b²=ac代入上式，并整理得BE2=

a2+c2+ac

4

．然后利用基本不等式可求得結果；

解答： 解：（Ⅰ）2bcosB=ccosA+acosC，
由正弦定理，得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
∴2sinBcosB=sinB，
又sinB≠0，∴cosB=

1

2

，
∴B=

π

3

．
（Ⅱ）∵S≥

3 3

2

，∴S=

1

2

acsinB=

3

4

ac≥

3 3

2

，
∴ac≥6．
在△BAE中，由余弦定理得：BE2=c2+(

b

2

)2-2c(

b

2

)cosA，
又cosA=

b2+c2-a2

2bc

，a²+c²-b²=ac代入上式，并整理得BE2=

a2+c2+ac

4

．
由基本不等式a²+c²≥2ac，得BE2≥

2ac+ac

4

=

3ac

4

≥

9

2

，
當且僅當a=c=

6

時上述不等式的等號都成立，且已知條件不等式等號成立，
∴BE的最小值為

3 2

2

．

點評：該題考查正弦定理、余弦定理及其應用，考查三角形面積公式、基本不等式，考查學生臨河運用知識解決問題的能力．