Question

【題目】已知橢圓1()的離心率為，且經過點，直線與橢圓E交于B，C兩點（B，C不與A重合）.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若O，B，C三點不共線時（O為坐標原點），求面積的最大值；

（3）設直線AB，AC與軸的交點分別為P，Q，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）結合待定系數法和離心率公式及橢圓的關系式聯立解方程即可求解；

（2）聯立直線與橢圓標準方程，由韋達定理得x1+x2=﹣m，，表示出弦長，由點到直線距離公式求得O到直線BC的距離d，結合面積公式化簡可得S△OBC，由不等式性質可求最值；

（3）畫出圖像，需將結論進行轉化，要求，即求∠AQP=∠APQ，即證kAP+kAQ=0，即證kAB+kAC=0，結合（2）化簡即可得證；

（1）由題意可知:，解得，∴橢圓E的方程為：；

（2）由A不在l上，可知m≠1，由，得：x2+mx+m2﹣3=0，

∴△=m2﹣4(m2﹣3)=12﹣3m2>0，即﹣2<m<2，且m≠1，m≠0，設B(x1，y1)，C(x2，y2)，

∴x1+x2=﹣m，，

∴|BC|，

又∵點O到直線BC的距離d，

∴S△OBC，

當且僅當m（滿足△>0且m≠0，1）時，△OBC的面積取得最大值；

（3）

由（2）可知x1+x2=﹣m，，∴kAP+kAQ=kAB+kAC1

10，∴∠AQP=∠APQ，∴|AP|=|AQ|.