Question

【題目】已知圓，一動(dòng)圓與直線相切且與圓外切.

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

（2）若經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線與曲線交于兩點(diǎn)， 是線段的中點(diǎn)，過(guò)作軸的平行線與曲線相交于點(diǎn)，試問(wèn)是否存在直線，使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 存在直線或，使得.

【解析】試題分析：

（1）本題用直接法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，設(shè)支點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)然由已知分析，動(dòng)點(diǎn)不能在軸左側(cè)，然后利用直線與圓相切和兩圓外切的條件列出方程，化簡(jiǎn)即可；

（2）假設(shè)存在滿足題意的直線，設(shè)出直線方程，分析發(fā)現(xiàn)直線的斜率為0時(shí)不合題意，從而設(shè)直線方程為，設(shè)，直線方程與曲線方程聯(lián)立方程組，消去變量后得的一元二次方程，由韋達(dá)定理得，設(shè)，得， ，由求出值，得直線方程，若不能求出實(shí)數(shù)，則說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，不存在相應(yīng)的直線.

試題解析：

（1）設(shè)，分析可知：動(dòng)圓的圓心不能在軸的左側(cè)，故，

∵動(dòng)圓與直線相切，且與圓外切，

∴，

∴，

∴，

化簡(jiǎn)可得；

（2）設(shè)，

由題意可知，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，顯然不符合題意，

故可設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立和并消去，可得，

顯然，由韋達(dá)定理可知，①

又∵，

∴，②

∵，∴，③

假設(shè)存在，使得，

由題意可知，∴，④

由點(diǎn)在拋物線上可知，即，⑤

又，

若，則，

由①②③④⑤代入上式化簡(jiǎn)可得，

即，

∴，故，

∴存在直線或，使得．