Question

【題目】已知函數f（x）=a﹣ 為奇函數．
（1）求a的值；
（2）試判斷函數f（x）在（﹣∞，+∞）上的單調性，并證明你的結論；
（3）若對任意的t∈R，不等式f[t2﹣（m﹣2）t]+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由于函數f（x）為奇函數，所以f（﹣x）=﹣f（x）；

∴a﹣ =﹣a+ ；

∴2a= ；

∴a=1

（2）解：任意x1，x2∈R，且x1＜x2；

f（x1）﹣f（x2）=1﹣ ﹣1+ ；

= ＜0；

∵x1＜x2∴0＜ ＜

∴ ＞0，

所以，f（x1）＜f（x2）；

則f（x）為R上的單調遞增函數

（3）解：因為f（x）=1﹣ 為奇函數，且在R上為增函數；

所以由f（t2﹣（m﹣2）t）+f（t2﹣m+1）＞0恒成立，

得到：t2﹣（m﹣2）t＞m﹣1﹣t2 對t∈R恒成立；

化簡后：2t2﹣（m﹣2）t﹣m+1＞0；

所以△=（m﹣2）2+8（m﹣1）＜0；

∴﹣2﹣2 ＜m＜﹣2+2 ；

故m的取值范圍為：（﹣2﹣2 ，﹣2+2 ）

【解析】（1）直接利用奇函數的定義f（﹣x）=f（x），可求出a值；（2）直接利用函數的單調性定義證明即可；（3）利用奇函數與單調性直接轉化為t2﹣（m﹣2）t＞m﹣1﹣t2 對t∈R恒成立，從而求出m的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用奇偶性與單調性的綜合，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性即可以解答此題．