Question

【題目】如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，，.

（1）證明：平面平面；

（2），分別是，的中點，是線段上的動點，若二面角的平面角的大小為，試確定點的位置.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）為線段上靠近點的四等分點，且坐標為

【解析】

（1）先通過線面垂直的判定定理證明平面，再根據面面垂直的判定定理即可證明；

（2）分析位置關系并建立空間直角坐標系，根據二面角的余弦值與平面法向量夾角的余弦值之間的關系，即可計算出的坐標從而位置可確定.

（1）證明：因為，，，

所以，即.

又因為，，所以，

，所以平面.

因為平面，所以平面平面.

（2）解：連接，因為，是的中點，所以.

由（1）知，平面平面，所以平面.

以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則平面的一個法向量是，，，.

設，，

，，

代入上式得，，，所以.

設平面的一個法向量為，，，

由，得.

令，得.

因為二面角的平面角的大小為，

所以，即，解得.

所以點為線段上靠近點的四等分點，且坐標為.