Question

【題目】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，，是上的點(diǎn)，的面積最大值為，直線與交于兩點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）

（1）求橢圓的方程；

（2）求證：到直線的距離為定值，并求其定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析，

【解析】

（1）由題意可得，解得a、b、c，進(jìn)而得橢圓的方程.

（2）利用分類討論，當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程，代入橢圓方程，將轉(zhuǎn)化為，即，再根據(jù)韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，得出關(guān)于根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得出

（1）設(shè)橢圓C的半焦距為c，由題意可知，

當(dāng)P為橢圓C的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值.

所以，所以，，

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，

由 ，整理得：，

由，整理得：

設(shè)，，則由韋達(dá)定理得：

，

，即，

，

整理得，

化簡得： ，滿足，

點(diǎn)O到直線的距離為，

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可求得直線方程為，也滿足題意.

故到直線的距離為定值，其值為.