Question

定義域為R的奇函數f（x）滿足f（x+1）=f（x-1），且當x∈（0，1）時，f(x)=

2x-1

2x+1

．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）若存在x∈（0，1），滿足f（x）＞m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設x∈（-1，0）則-x∈（0，1），代入已知解析式得f（-x）的解析式，再利用奇函數的定義，求得函數f（x）解析式．
（Ⅱ）存在性問題，只要有一個就可以．所以m只要小于f（x）的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），由f（x）為R上的奇函數，
得f(-x)=-f(x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

2x+1

，
∴f(x)=

2x-1

2x+1

(x∈(-1，0))
又由奇函數得f（0）=0．
∵f（x+1）=f（x-1），
∴當x=0時，f（1）=f（-1）
又∵f（-1）=-f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0
∴f(x)=

2x-1 2x+1 x∈(-1，1) 0 x=±1

．
（Ⅱ）∵x∈（0，1）f(x)=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∴2^x∈（1，2），∴1-

2

2x+1

∈(0，

1

3

)．
若存在x∈（0，1），滿足f（x）＞m，
則m＜

1

3

實數m的取值范 圍為(-∞，

1

3

)．

點評：本題主要考查了利用函數的奇偶性和對稱性求函數解析式的方法，轉化化歸的思想方法，以及存在性命題的求解