Question

【題目】已知函數，其中為自然對數的底數，.

（1）當時，求的極值；

（2）若存在實數，使得，且，求證：

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)見證明

【解析】

（1）求導，討論其單調性，求其極值即可;

（2）求導，對a進行討論，求其單調性，得到的范圍，再利用函數的單調性和最值可證得所求的范圍即可.

解:(1)

當時, 得.

當時, 當時,

所以當時,單調遞減, 當時,單調遞增,

可得當時, 有極小值

(2)由(1)

當時, 此時單調遞增,

若,可得,與矛盾;

當時, 由(1) 知當時,單調遞減, 當時,單調遞增,

同理不存在或，使得;

不妨設,則有

因為時,單調遞減, 當時,單調遞增,且,

所以當時,

由且,可得,故,

又在單調遞減,且

所以,所以.同理

即

解得

綜上所述,命題得證.