Question

【題目】已知函數，其中 R．

（1）如果曲線在x＝1處的切線斜率為1，求實數的值；

（2）若函數的極小值不超過，求實數的最小值；

（3）對任意[1，2]，總存在[4，8]，使得＝成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）2；（3）

【解析】

（1）求得，利用曲線在處的切線斜率為1列方程可得：，問題得解

（2）由（1）可得：，函數的極小值不超過，說明函數有極小值，即可判斷且其極小值，可轉化成，記，利用導數可得在上遞減，結合，即可求得，問題得解。

（3）記在的值域為，在的值域為，“對任意，總存在，使得成立”可轉化成： 恒成立，對的大小分類，即可判斷函數的單調性，利用 列不等式即可得解。

（1）由題可得：，所以

又曲線在處的切線斜率為1，所以，

解得：

（2）

因為函數的極小值不超過，說明函數有極小值

則，其極小值

即：

記：，上述不等式可轉化成

當時，，

要使得，則

因為恒成立，

所以在上遞減，

所以實數的最小值為

（3）記在的值域為，在的值域為

對任意，總存在，使得成立，

則 成立

（Ⅰ）當時，在遞增，不滿足

（Ⅱ）當時，在遞減，在遞增，不滿足

（Ⅲ）當時，在遞減，在遞增，

要使得 ，則

即：

整理得：

（Ⅳ）當時，在遞減，在遞增，

要使得 ，則

即：

整理得：

（Ⅴ）當時，在遞減，，不滿足 .

綜上所述：