Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，PA＝PD＝AD＝2，BC＝1，.

（1）求證：平面PQB⊥平面PAD；

（2）若M是棱PC上的一點，且滿足，求二面角M﹣BQ﹣C的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）

【解析】

（1）推導出四邊形BCDQ是平行四邊形，從而，進而平面PQB，由此能證明平面PQB⊥平面PAD.

（2）以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸建立空間直角坐標系，求出平面MBQ，BQC的法向量，利用向量法求出二面角M﹣BQ﹣C的大小.

（1）為AD中點，PA＝PD＝AD＝2，BC＝1

故四邊形BCDQ是平行四邊形

又底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°

，又

平面PQB

平面PAD

平面PQB⊥平面PAD.

（2）平面PQB⊥平面PAD，平面PQB 平面PAD=PQ

PQ⊥平面PAD

以Q為原點，QA為x軸，QB為y軸，QP為z軸建立空間直角坐標系

則

設，即

設平面MAB的法向量為：

則：取

則

平面BQC的法向量為

設二面角M﹣BQ﹣C的平面角為，

則

故二面角M﹣BQ﹣C的平面角為.