Question

【題目】設函數，其中N，≥2，且R．

（1）當，時，求函數的單調區間；

（2）當時，令，若函數有兩個極值點，，且，求的取值范圍；

（3）當時，試求函數的零點個數，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）將，代入解析式，求出函數的導數，從而即可得到函數的單調區間；

（2）由題意知，求導，從而可得，由方程有兩個不相等的正數根，（）可得，由方程得，且，由此分析整理即可得到答案；

（3）求出函數的導數，得到的單調性，求出的最小值，通過構造函數結合零點存在性定理判斷函數的零點即可.

（1）依題意得，，，

∴ ．

令，得；令，得．

則函數在上單調遞減，在上單調遞增．

（2）由題意知：．

則，

令，得，

故方程有兩個不相等的正數根，（），

則 解得．

由方程得，且．

由，得．

，．

，即函數是上的增函數，

所以，故的取值范圍是．

（3）依題意得，，，

∴ ．

令，得，∴ ，∵，

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，

∴．

令（），則，

∴，

∴，即．

∵，∴，

又∵，

∴，

根據零點存在性定理知函數在和各有一個零點．