Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD 平面ABCD，PA PD ,PA=PD,AB AD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,
（1）求證：PD 平面PAB;
（2）求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
（3）在棱PA上是否存在點M，使得BMll平面PCD?若存在，求 的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且AB⊥AD，AB平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD平面PAD，

∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A，

∴PD⊥平面PAB；

（2）

解：如圖：

取 中點為 ，連結 ，

∵

∴

∵

∴

以 為原點，如圖建系

易知P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），

則 ， ， ，

設 為面 的法向量，令

，則 與面 夾角 有

（3）

解：假設存在 點使得 面

設 ，

由（2）知 ， ， ， ，

有

∴

∵ 面 ， 為 的法向量

∴

即

∴

∴綜上，存在 點，即當 時， 點即為所求

【解析】（1）由已知結合面面垂直的性質可得AB⊥平面PAD，進一步得到AB⊥PD，再由PD⊥PA，由線面垂直的判定得到PD⊥平面PAB；
（2）取AD中點為O，連接CO，PO，由已知可得CO⊥AD，PO⊥AD．以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，求得P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，﹣1，0），C（2，0，0），進一步求出向量 的坐標，再求出平面PCD的法向量 ，設PB與平面PCD的夾角為θ，由 求得直線PB與平面PCD所成角的正弦值；
（3）假設存在M點使得BM∥平面PCD，設 ，M（0，y1 ， z1），由 可得M（0，1﹣λ，λ）， ，由BM∥平面PCD，可得 ，由此列式求得當 時，M點即為所求．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用空間中直線與平面之間的位置關系的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直線在平面內—有無數個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點．