Question

（本小題滿分12分）

       已知圓上的動點，點Q在NP上，點G在MP上，且滿足．

   （I）求點G的軌跡C的方程；

   （II）過點（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設 是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）

（II）存在直線使得四邊形OASB的對角線相等．

【解析】（I）Q為PN的中點且GQ⊥PN

       GQ為PN的中垂線|PG|=|GN|

       ∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G點的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，

       其長半軸長，半焦距，

       ∴短半軸長b=2，

       ∴點G的軌跡方程是

   （II）因為，所以四邊形OASB為平行四邊形

       若存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形

       若l的斜率不存在，直線l的方程為x=2，

       由[

       矛盾，故l的斜率存在．

       設l的方程為

      

          ①

      

          ②

       把①、②代入

       ∴存在直線使得四邊形OASB的對角線相等．