Question

（2011•自貢三模）（本小題滿分12分＞
設平面直角坐標中，O為原點，N為動點，|

ON

|=6，

ON

=

5

•

OM

．過點M作MM₁丄y軸于M₁，過N作NN₁⊥x軸于點N₁，

OT

=

M1M

+

N1N

，記點T的軌跡為曲線C．
（I）求曲線C的方程：
（H）已知直線L與雙曲線C：5x²-y²=36的右支相交于P、Q兩點（其中點P在第-象限）．線段OP交軌跡C于A，若

OP

=3

OA

，S_△PAQ=-26tan∠PAQ求直線L的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設T（x，y），點N（x₁，y₁），則N₁（x₁，0），又

OM

=

1

5

ON

=(

1

5

x1，

1

5

y1)，M1(0，

1

5

y1)，

M1N

=(

1

5

x1，0)，

N1N

=(0，y1)，于是

OT

=

M1M

+

N1N

=(

1

5

x1，y1)，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設A（x，y），由

OP

=3

OA

及P在第一象限知P（3m，3n），m＞0，n＞0，由A∈C₁，P∈C₂，知5m²+n²=36，5m²-n²=4，解得A（2，4），P（6，12），設Q（x，y），則5x²-y²=36．由S=-26tan∠PAQ，得

1

2

|

AP

| •|

AQ

| •sin∠PAQ=-26tan∠PAQ，所以（4，8）•（x-2，y-4）=-52x+2y+3=0．聯立方程組，解得Q（3，-3）．由P（6，12），Q（3，-3）得l的方程．

解答：解：（Ⅰ）設T（x，y），點N（x₁，y₁），則N₁（x₁，0），
又

OM

=

1

5

ON

=(

1

5

x1，

1

5

y1)，
∴M1(0，

1

5

y1)，

M1M

=(

1

5

x1，0)，

N1N

=(0，y1)，
于是

OT

=

M1M

+

N1N

=(

1

5

x1，y1)，
即（x，y）=(

1

5

x1 ，y1)，
∴

x1= 5 x y1=y

，代入|

ON

| =6，得5x²+y²=36．
∴曲線C的方程是5x²+y²=36．
（Ⅱ）設A（x，y），由

OP

=3

OA

及P在第一象限知P（3m，3n），m＞0，n＞0，
∵A∈C₁，P∈C₂，
∴5m²+n²=36，5m²-n²=4，
解得m=2，n=4，即A（2，4），P（6，12），
設Q（x，y），則5x²-y²=36①，
由S=-26tan∠PAQ，得

1

2

|

AP

| •|

AQ

| •sin∠PAQ=-26tan∠PAQ，
∴

AP

•

AQ

=-52，
即（4，8）•（x-2，y-4）=-52x+2y+3=0②
聯立①②，解得

x=- 51 19 y=- 3 19

，或

x=3 y=-3

，
∵Q在雙曲線的右支，∴Q（3，-3）．
由P（6，12），Q（3，-3）得l的方程為

y+3

12+3

=

x-3

6-3

，
即5x-y-18=0．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．