Question

（文） （本小題滿分12分已知函數y=4-2

3

sinx•cosx-2sin2x(x∈R)，
（1）求函數的值域和最小正周期；
（2）求函數的遞減區間．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的二倍角公式與輔助角公式將f（x）=y=4-

3

sin2x-（1-cos2x）化簡為：f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3即可求函數的值域和最小正周期；
（2）利用余弦函數的單調遞減區間可求得f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3的遞減區間．

解答：解：（1）∵y=4-

3

sin2x-（1-cos2x）
=3-

3

sin2x+cos2x
=2cos（2x+

π

3

）+3．
∴最小正周期是T=

2π

2

=π．
∵x∈R，cos(2x+

π

3

)∈[-1，1]，
∴函數的值域為{y|1≤y≤5}．
（2）由2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π得；kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z）
∴函數的遞減區間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）．

點評：本題考查余弦函數的單調性，考查三角函數的化簡與周期的求法，將f（x）=4-

3

sin2x-（1-cos2x）化簡為f（x）=2cos（2x+

π

3

）+3是關鍵，屬于中檔題．