Question

設函數f（x）=3ax²+2bx+c，且有a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
（Ⅰ）求證：a＞0，且-2＜

b

a

＜-1；
（Ⅱ）求證：函數y=f（x）在區間（0，1）內有兩個不同的零點．

Answer 1

考點：二次函數的性質,函數零點的判定定理

專題：概率與統計

分析：（I）由a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，消去b，得a＞c＞0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，即-2a＜b＜-a，進而可得a＞0，且-2＜

b

a

＜-1；
（Ⅱ）拋物線f（x）=3ax²+2bx+c的頂點為(-

b

3a

，

3ac-b2

3a

)，結合（1）中結論，可得-

b

3a

∈(0，1)且f（0）＞0，f（1）＞0，f(-

b

3a

)=-

a2+c2-ac

3a

＜0，且圖象連續不斷，由函數零點存在定理可得結論．

解答： 證明：（Ⅰ）∵函數f（x）=3ax²+2bx+c，f（0）＞0，f（1）＞0，
∴c＞0，3a+2b+c＞0，…（2分）
由條件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；
由條件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，即-2a＜b＜-a，…（5分）
∴-2＜

b

a

＜-1；                                                  …（6分）
（Ⅱ）拋物線f（x）=3ax²+2bx+c的頂點為(-

b

3a

，

3ac-b2

3a

)，
由-2＜

b

a

＜-1，得

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

，即有-

b

3a

∈(0，1)，…（8分）
又∵f（0）＞0，f（1）＞0，f(-

b

3a

)=-

a2+c2-ac

3a

＜0，且圖象連續不斷，
∴函數y=f（x）在區間(0，-

b

3a

)與(-

b

3a

，1)內分別有一個零點，
故函數y=f（x）在（0，1）內有兩個不同的零點．…（12分）

點評：本題考查的知識點是函數零點的判定定理，二次函數的圖象和性質，綜合性強，運算強度大，屬于中檔題．