Question

已知

a

，

b

是兩個非零向量，給定命題p：|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，命題q：?t∈R，使得

a

=t

b

，則p是q的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：利用2個向量的數(shù)量積公式，由命題p成立能推出命題q成立，由命題q成立能推出命題p成立，p是q的充要條件．

解答：解：（1）若命題p成立，∵

a

，

b

是兩個非零向量，|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，即||

.

a

||

b

|•cos＜

a

，

b

＞|=|

a

||

b

|，
∴cos＜

a

，

b

＞=±1，＜

a

，

b

＞=0⁰或＜

a

，

b

＞=180⁰∴

a

，

b

共線，即；?t∈R，使得

a

=t

b

，
∴由命題p成立能推出命題q成立．
（2）若命題p成立，即?t∈R，使得

a

=t

b

，則

a

，

b

兩個非零向量共線，∴＜

a

，

b

＞=0⁰或＜

a

，

b

＞=180⁰，
∴cos＜

a

，

b

＞=±1，即||

a

||

b

|•cos＜

a

，

b

＞|=|

a

||

b

|，
∴|

a

•

b

|=|

a

||

b

|，∴由命題q成立能推出命題p成立．
∴p是q的充要條件．

點評：本題考查充要條件的概念及判斷方法．