Question

【題目】在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，為線段上的中點．

（1）證明：平面；

（2）求直線與平面所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）取的中點，連接，，證明四邊形是平行四邊形得出，故而平面；

（2）取的中點，以為原點建立空間坐標系，根據得出二面角的大小，得出的坐標，求出平面的法向量，計算和的夾角得出結論．

（1）取的中點，連接，．∵，是，的中點，∴，，

又，，∴，，

∴四邊形是平行四邊形，∴，

又平面，平面，∴平面．

（2）取的中點，連接，過作的平行線，

以為原點，以，和平面過點的垂線為坐標軸建立空間坐標系，

∵，∴，設二面角的大小為，

則，，，，∴，

∴，，∵，

∴，

∴，.∴，，

∴，，

設平面的法向量為，則，即，

令可得，∴，

設直線與平面所成角為，則，∴.

∴直線與平面所成角的余弦值為．