Question

【題目】已知橢圓的離心率為，焦點分別為，點是橢圓上的點，面積的最大值是．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，是坐標原點，若判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）見解析

【解析】

（Ⅰ）由題意得到的方程組，求出的值，即可得出橢圓方程；

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，易求出四邊形的面積；當直線的斜率存在時，設直線方程是，聯立直線與橢圓方程，結合判別式和韋達定理，可表示出弦長，再求出點到直線的距離，根據和點在曲線上，求出的關系式，

最后根據，即可得出結果.

解：（Ⅰ）由解得 得橢圓的方程為.

（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線的方程為或，此時四邊形的面積為．

當直線的斜率存在時，設直線方程是，聯立橢圓方程

，

點到直線的距離是

由得

因為點在曲線上，所以有整理得

由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為

由得, 故四邊形的面積是定值，其定值為．