Question

【題目】我們常常稱恒成立不等式（，當且僅當時等號成立)為“靈魂不等式”，它在處理函數與導數問題中常常發揮重要作用.

（1）試證明這個不等式；

（2）設函數，且在定義域內恒有，求實數的值.

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）1

【解析】

（1）方法1：應用數形結合思想方法；方法2：構造函數利用導函數求解函數最大值,使其小于等于0；

（2）函數定義域是，首先將轉化為，對x分類（和）后分離參數，利用（1）中的結論“靈魂不等式”求解a的值.

（1）法1（圖象法）：在同一坐標系下作出曲線和直線，發現它們均經過定點，且，即直線是曲線在定點處的切線.

故，當且僅當時等號成立）.

法2（導數法）：令，則.

顯然在內單增，在內單減， 因此

于是.即,當且僅當時等號成立.

（2）函數的定義域是.

等價于，

即:

當時，. 由靈魂不等式:知， ，

因此

當時，. 由靈魂不等式:知， ，

因此 當時，等號成立,

綜上可知，實數的值是.