Question

【題目】把半橢圓（x≥0）與圓弧（x﹣c）2+y2=a2（x＜0）合成的曲線稱作“曲圓”，其中F（c，0）為半橢圓的右焦點．如圖，A1，A2，B1，B2分別是“曲圓”與x軸、y軸的交點，已知∠B1FB2=，扇形FB1A1B2的面積為．

（1）求a，c的值；

（2）過點F且傾斜角為θ的直線交“曲圓”于P，Q兩點，試將△A1PQ的周長L表示為θ的函數(shù)；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△A1PQ的周長L取得最大值時，試探究△A1PQ的面積是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請求出面積的取值范圍．

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Answer 1

【答案】（1）a=2，c=1；（2）見解析；（3） .

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)有，根據(jù)扇形面積公式及面積列方程可求得的值.利用可求得的值（2）由（1）的結(jié)論求得橢圓的方程和圓的方程.對分成三類，利用橢圓的定義和解等腰三角形求得三角形的周長.（3）由（2）的分析可知，三角形面積取得最大值時，在半橢圓上.利用弦長公式求得的長，利用點到直線的距離公式求得到的距離，列出三角形面積的表達式，利用換元法求得面積的取值范圍.

（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)有，根據(jù)扇形面積公式得，由于，故.

（2）由（1）知，故半橢圓方程為，圓弧的方程為.且恰好是橢圓的左焦點.顯然直線的斜率不能為，故設(shè)的方程為.①當(dāng)時，分別在圓弧和半橢圓上，為腰為的當(dāng)腰三角形，，故的周長

②當(dāng)時，分別圓弧和半橢圓上，同理①可求得的周長.

③當(dāng)時，都在半橢圓上，此時的周長.

（3）由（2）知，當(dāng)都在半橢圓上時，的周長取得最大值.將直線的方程代入橢圓方程并化簡得，所以，由弦長公式得，點到直線的距離，故三角形的面積，令，，，而在上遞增，故，所以.